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正四面体的截面有哪几类？

2024-10-02 10:30:04 点击：100

基本结论

凸多面体的截面是凸多边形。

所谓凸集就是指集合满足如下性质：对任意点，则线段常见的凸集有三角形、平行四边形、正n边形、圆、凸多面体、球体，欧氏空间（是平面，是空间）等。

关于凸集有一个基本的结论：凸集的交集仍然是凸集。请读者利用上述凸集定义自证。凸集的截面事实上就是凸集与凸集——平面的交集，所以截面必定是平面上的凸集。

由于凸多面体每个面都是平面上的凸多边形区域，于是截面的边界是面与面的交线段段构成的平面闭曲线，这样的凸集只能是凸多边形。

接下来我们对截面进行简单的分类，这有助于我们接下来的讨论。

以下我们所说的截面，皆指非退化的情况，如果是截线、截点，则不予讨论。我们将截面分成以下两种情况讨论。

将正四面体视为三棱锥，则过顶点的截面由两条母线所决定（通过两条相交直线的平面唯一），第三条边则落在底面，于是截面始终是三角形。特别地，若母线是某条棱，则截面是过棱的三角形。

于是我们更在意的是不过顶点的截面。这样的截面我们不妨命名为「普通截面」。一个显而易见的事实，我将之命名为——

不相容原理：普通截面的任意两个顶点不会在正四面体同一条棱。

否则，截面就会经过这条棱的全部，这与普通截面的前提矛盾。所以，普通截面的每个顶点占据一条棱，而正四面体至多有6条棱，所以普通截面的边数不会超过6.

推论：设正四面体截面为凸n边形，则 n < 7.

不相容原理虽然很简单，但是将问题大大简化，我们再也不用担心的情况，剩下的四种情况只需逐一排查即可。

如上图是的情况。似乎是不存在的，能否严格证明——

定理：正四面体的截面是多边形只有两种情况：三角形、四边形。

证明： 我们只需要证明普通截面不可能出现五边形、六边形即可。正四面体总共只有6条边，如果截面是五、六边形，我们至少可以找到正四面体两个面——正三角形每边各有一点，这意味着截面同时过平面，矛盾。

既然我们已经确定正四面体的截面多边形的全部类型，那么接下来可以寻找更特殊的截面，例如锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、矩形。

由前文所述，过顶点的截面一定是三角形。如下图，设正四面体，设从顶点处发射两条母线决定了截面。

分析截面三角形各个角，需要我们回忆中学立体几何两个重要的引理——

三正弦定理 三正弦定理也称为最大角定理，即二面角不小于线面角

三余弦定理 三余弦定理也称为最小角定理，即线面角不大于斜线角

证略。

我们可以把这个定理运用到如下场景。

我们所求截面底角的余弦值等于

于是我们分别去了解而由三正弦定理可知线面角有最大值为正四面体的二面角，最小值为截面过棱的角：

通过观察，作为三角形的内角的取值范围是

上图的截面的顶角只可能是锐角。事实上由最小角定理

<左右划动可见>

于是可知界面三角形是锐角、直角、钝角三角形，取决于，而取决于 这为我们提供了构造各种类型三角形的方法。

正四面体最特别的四边形截面是「中位线正方形」，它是四条边恰好是正四面体四个面的中位线。

如上图，平行于中位线正方形的平面与正四面体的截面是矩形，这个矩形的周长始终与中位线正方形的周长相等，请读者自行证明。周长固定，由均值不等式很容易得知，这样的矩形面积不会超过中位线正方形的面积。